解決{l}{2x+3y=10}{4x+5y=42} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=38$$

$$y=-22$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+3y=10$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$2x=-3y+10$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3y+10。

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

在另一個方程式 4x+5y=42 中以 -\frac{3y}{2}+5 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

4 乘上 -\frac{3y}{2}+5。

$$-6y+20+5y=42$$

將 -6y 加到 5y。

$$-y+20=42$$

從方程式兩邊減去 20。

$$-y=22$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-22$$

在 x=-\frac{3}{2}y+5 中以 -22 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

-\frac{3}{2} 乘上 -22。

$$x=33+5$$

將 5 加到 33。

$$x=38$$

現已成功解出系統。

$$x=38,y=-22$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=38,y=-22$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

讓 2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

化簡。

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+12y=40 減去 8x+10y=84。

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y-10y=40-84$$

將 12y 加到 -10y。

$$2y=40-84$$

將 40 加到 -84。

$$2y=-44$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-22$$

在 4x+5y=42 中以 -22 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

5 乘上 -22。

$$4x-110=42$$

將 110 加到方程式的兩邊。

$$4x=152$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=38$$

現已成功解出系統。

$$x=38,y=-22$$