解決{l}{2x+2y=4}{3x-2y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { 3 x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5} = 3.2$$

$$y = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+2y=4$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$2x=-2y+4$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -2y+4。

$$x=-y+2$$

在另一個方程式 3x-2y=12 中以 -y+2 代入 x在方程式。

$$3\left(-y+2\right)-2y=12$$

3 乘上 -y+2。

$$-3y+6-2y=12$$

將 -3y 加到 -2y。

$$-5y+6=12$$

從方程式兩邊減去 6。

$$-5y=6$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=-\frac{6}{5}$$

在 x=-y+2 中以 -\frac{6}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\left(-\frac{6}{5}\right)+2$$

-1 乘上 -\frac{6}{5}。

$$x=\frac{6}{5}+2$$

將 2 加到 \frac{6}{5}。

$$x=\frac{16}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 12\\\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 12$$

化簡。

$$6x+6y=12,6x-4y=24$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+6y=12 減去 6x-4y=24。

$$6x-6x+6y+4y=12-24$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y+4y=12-24$$

將 6y 加到 4y。

$$10y=12-24$$

將 12 加到 -24。

$$10y=-12$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=-\frac{6}{5}$$

在 3x-2y=12 中以 -\frac{6}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-2\left(-\frac{6}{5}\right)=12$$

-2 乘上 -\frac{6}{5}。

$$3x+\frac{12}{5}=12$$

從方程式兩邊減去 \frac{12}{5}。

$$3x=\frac{48}{5}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{16}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$