解決{l}{2x+16y=22}{4x+8y=20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+16y=22$$

從方程式兩邊減去 16y。

$$2x=-16y+22$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -16y+22。

$$x=-8y+11$$

在另一個方程式 4x+8y=20 中以 -8y+11 代入 x在方程式。

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

4 乘上 -8y+11。

$$-32y+44+8y=20$$

將 -32y 加到 8y。

$$-24y+44=20$$

從方程式兩邊減去 44。

$$-24y=-24$$

將兩邊同時除以 -24。

$$y=1$$

在 x=-8y+11 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-8+11$$

將 11 加到 -8。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

讓 2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

化簡。

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+64y=88 減去 8x+16y=40。

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$64y-16y=88-40$$

將 64y 加到 -16y。

$$48y=88-40$$

將 88 加到 -40。

$$48y=48$$

將兩邊同時除以 48。

$$y=1$$

在 4x+8y=20 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+8=20$$

從方程式兩邊減去 8。

$$4x=12$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=1$$