解決{l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

解 w、n

$$w=1050$$

$$n=2950$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 w: 將 w 單獨置於等號的左邊。

$$2w+n=5050$$

從方程式兩邊減去 n。

$$2w=-n+5050$$

將兩邊同時除以 2。

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -n+5050。

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

在另一個方程式 3w+2n=9050 中以 -\frac{n}{2}+2525 代入 w在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

3 乘上 -\frac{n}{2}+2525。

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

將 -\frac{3n}{2} 加到 2n。

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

從方程式兩邊減去 7575。

$$\frac{1}{2}n=1475$$

將兩邊同時乘上 2。

$$n=2950$$

在 w=-\frac{1}{2}n+2525 中以 2950 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 w。

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

-\frac{1}{2} 乘上 2950。

$$w=-1475+2525$$

將 2525 加到 -1475。

$$w=1050$$

現已成功解出系統。

$$w=1050,n=2950$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 w 和 n。

$$w=1050,n=2950$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

讓 2w 和 3w 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

化簡。

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6w+3n=15150 減去 6w+4n=18100。

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

將 6w 加到 -6w。 6w 和 -6w 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3n-4n=15150-18100$$

將 3n 加到 -4n。

$$-n=15150-18100$$

將 15150 加到 -18100。

$$-n=-2950$$

將兩邊同時除以 -1。

$$n=2950$$

在 3w+2n=9050 中以 2950 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 w。

$$3w+2\times 2950=9050$$

2 乘上 2950。

$$3w+5900=9050$$

從方程式兩邊減去 5900。

$$3w=3150$$

將兩邊同時除以 3。

$$w=1050$$

現已成功解出系統。

$$w=1050,n=2950$$