解決{l}{2n-3m=1}{m+n=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n - 3 m = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

解 n、m

$$n=2$$

$$m=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2n-3m=1,n+m=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 n: 將 n 單獨置於等號的左邊。

$$2n-3m=1$$

將 3m 加到方程式的兩邊。

$$2n=3m+1$$

將兩邊同時除以 2。

$$n=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 3m+1。

$$n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 n+m=3 中以 \frac{3m+1}{2} 代入 n在方程式。

$$\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}+m=3$$

將 \frac{3m}{2} 加到 m。

$$\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

$$\frac{5}{2}m=\frac{5}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$m=1$$

在 n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2} 中以 1 代入 m。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 n。

$$n=\frac{3+1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{3}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$n=2$$

現已成功解出系統。

$$n=2,m=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2n-3m=1,n+m=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 n 和 m。

$$n=2,m=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2n-3m=1,n+m=3$$

讓 2n 和 n 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2n-3m=1,2n+2m=2\times 3$$

化簡。

$$2n-3m=1,2n+2m=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2n-3m=1 減去 2n+2m=6。

$$2n-2n-3m-2m=1-6$$

將 2n 加到 -2n。 2n 和 -2n 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3m-2m=1-6$$

將 -3m 加到 -2m。

$$-5m=1-6$$

將 1 加到 -6。

$$-5m=-5$$

將兩邊同時除以 -5。

$$m=1$$

在 n+m=3 中以 1 代入 m。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 n。

$$n+1=3$$

從方程式兩邊減去 1。

$$n=2$$

現已成功解出系統。

$$n=2,m=1$$