解決{l}{2m-3n=-1}{m+n=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = - 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$n = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$2m-3n=-1$$

將 3n 加到方程式的兩邊。

$$2m=3n-1$$

將兩邊同時除以 2。

$$m=\frac{1}{2}\left(3n-1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 3n-1。

$$m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 m+n=3 中以 \frac{3n-1}{2} 代入 m在方程式。

$$\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}+n=3$$

將 \frac{3n}{2} 加到 n。

$$\frac{5}{2}n-\frac{1}{2}=3$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{5}{2}n=\frac{7}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$n=\frac{7}{5}$$

在 m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2} 中以 \frac{7}{5} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}-\frac{1}{2}$$

\frac{3}{2} 乘上 \frac{7}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$m=\frac{21}{10}-\frac{1}{2}$$

將 -\frac{1}{2} 與 \frac{21}{10} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$m=\frac{8}{5}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

讓 2m 和 m 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2m-3n=-1,2m+2n=2\times 3$$

化簡。

$$2m-3n=-1,2m+2n=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2m-3n=-1 減去 2m+2n=6。

$$2m-2m-3n-2n=-1-6$$

將 2m 加到 -2m。 2m 和 -2m 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3n-2n=-1-6$$

將 -3n 加到 -2n。

$$-5n=-1-6$$

將 -1 加到 -6。

$$-5n=-7$$

將兩邊同時除以 -5。

$$n=\frac{7}{5}$$

在 m+n=3 中以 \frac{7}{5} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m+\frac{7}{5}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{5}。

$$m=\frac{8}{5}$$

現已成功解出系統。

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$