解決{l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

解 x、y (復數求解)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2bx+ay=2ab$$

從方程式兩邊減去 ay。

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

將兩邊同時除以 2b。

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

\frac{1}{2b} 乘上 a\left(-y+2b\right)。

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

在另一個方程式 bx+\left(-a\right)y=4ab 中以 a-\frac{ay}{2b} 代入 x在方程式。

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

b 乘上 a-\frac{ay}{2b}。

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

將 -\frac{ay}{2} 加到 -ay。

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

從方程式兩邊減去 ba。

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

將兩邊同時除以 -\frac{3a}{2}。

$$y=-2b$$

在 x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a 中以 -2b 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-\frac{a}{2b} 乘上 -2b。

$$x=a+a$$

將 a 加到 a。

$$x=2a$$

現已成功解出系統。

$$x=2a,y=-2b$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2a,y=-2b$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

讓 2bx 和 bx 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 b，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2b。

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

化簡。

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2b^{2}x+aby=2ab^{2} 減去 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}。

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

將 2b^{2}x 加到 -2b^{2}x。 2b^{2}x 和 -2b^{2}x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

將 bay 加到 2bay。

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

將 2ab^{2} 加到 -8ab^{2}。

$$3aby=-6ab^{2}$$

將兩邊同時除以 3ba。

$$y=-2b$$

在 bx+\left(-a\right)y=4ab 中以 -2b 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-a 乘上 -2b。

$$bx+2ab=4ab$$

從方程式兩邊減去 2ba。

$$bx=2ab$$

將兩邊同時除以 b。

$$x=2a$$

現已成功解出系統。

$$x=2a,y=-2b$$

解 x、y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2bx+ay=2ab$$

從方程式兩邊減去 ay。

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

將兩邊同時除以 2b。

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

\frac{1}{2b} 乘上 a\left(-y+2b\right)。

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

在另一個方程式 bx+\left(-a\right)y=4ab 中以 a-\frac{ay}{2b} 代入 x在方程式。

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

b 乘上 a-\frac{ay}{2b}。

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

將 -\frac{ay}{2} 加到 -ay。

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

從方程式兩邊減去 ba。

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

將兩邊同時除以 -\frac{3a}{2}。

$$y=-2b$$

在 x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a 中以 -2b 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-\frac{a}{2b} 乘上 -2b。

$$x=a+a$$

將 a 加到 a。

$$x=2a$$

現已成功解出系統。

$$x=2a,y=-2b$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2a,y=-2b$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

讓 2bx 和 bx 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 b，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2b。

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

化簡。

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2b^{2}x+aby=2ab^{2} 減去 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}。

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

將 2b^{2}x 加到 -2b^{2}x。 2b^{2}x 和 -2b^{2}x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

將 bay 加到 2bay。

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

將 2ab^{2} 加到 -8ab^{2}。

$$3aby=-6ab^{2}$$

將兩邊同時除以 3ba。

$$y=-2b$$

在 bx+\left(-a\right)y=4ab 中以 -2b 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-a 乘上 -2b。

$$bx+2ab=4ab$$

從方程式兩邊減去 2ba。

$$bx=2ab$$

將兩邊同時除以 b。

$$x=2a$$

現已成功解出系統。

$$x=2a,y=-2b$$