解決{l}{2a+b=5}{a+2b=1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 5 } \\ { a + 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

解 a, b

$$a=3$$

$$b=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2a+b=5,a+2b=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$2a+b=5$$

從方程式兩邊減去 b。

$$2a=-b+5$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+5\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -b+5。

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

在另一個方程式 a+2b=1 中以 \frac{-b+5}{2} 代入 a在方程式。

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}+2b=1$$

將 -\frac{b}{2} 加到 2b。

$$\frac{3}{2}b+\frac{5}{2}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{2}。

$$\frac{3}{2}b=-\frac{3}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=-1$$

在 a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2} 中以 -1 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 -1。

$$a=\frac{1+5}{2}$$

將 \frac{5}{2} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2a+b=5,a+2b=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=3,b=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2a+b=5,a+2b=1$$

讓 2a 和 a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2a+b=5,2a+2\times 2b=2$$

化簡。

$$2a+b=5,2a+4b=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2a+b=5 減去 2a+4b=2。

$$2a-2a+b-4b=5-2$$

將 2a 加到 -2a。 2a 和 -2a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$b-4b=5-2$$

將 b 加到 -4b。

$$-3b=5-2$$

將 5 加到 -2。

$$-3b=3$$

將兩邊同時除以 -3。

$$b=-1$$

在 a+2b=1 中以 -1 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a+2\left(-1\right)=1$$

2 乘上 -1。

$$a-2=1$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=-1$$