解決{l}{2a+3b=0}{2a+5b=16} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=-12$$

$$b=8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$2a+3b=0$$

從方程式兩邊減去 3b。

$$2a=-3b$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

\frac{1}{2} 乘上 -3b。

$$a=-\frac{3}{2}b$$

在另一個方程式 2a+5b=16 中以 -\frac{3b}{2} 代入 a在方程式。

$$2\left(-\frac{3}{2}\right)b+5b=16$$

2 乘上 -\frac{3b}{2}。

$$-3b+5b=16$$

將 -3b 加到 5b。

$$2b=16$$

將兩邊同時除以 2。

$$b=8$$

在 a=-\frac{3}{2}b 中以 8 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{3}{2}\times 8$$

-\frac{3}{2} 乘上 8。

$$a=-12$$

現已成功解出系統。

$$a=-12,b=8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=-12,b=8$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2a+3b=0 減去 2a+5b=16。

$$2a-2a+3b-5b=-16$$

將 2a 加到 -2a。 2a 和 -2a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3b-5b=-16$$

將 3b 加到 -5b。

$$-2b=-16$$

將兩邊同時除以 -2。

$$b=8$$

在 2a+5b=16 中以 8 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$2a+5\times 8=16$$

5 乘上 8。

$$2a+40=16$$

從方程式兩邊減去 40。

$$2a=-24$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=-12$$

現已成功解出系統。

$$a=-12,b=8$$