解決{l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

解 X、Y

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2 至兩側。

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

將 \frac{1}{2} 與 2 相加可以得到 \frac{5}{2}。

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

考慮第二個方程式。 計算 8 乘上 Y-\frac{1}{2} 時使用乘法分配律。

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

計算 9 乘上 X+1 時使用乘法分配律。

$$8Y-4=9X+9-4$$

從 9 減去 4 會得到 5。

$$8Y-4=9X+5$$

從兩邊減去 9X。

$$8Y-4-9X=5$$

新增 4 至兩側。

$$8Y-9X=5+4$$

將 5 與 4 相加可以得到 9。

$$8Y-9X=9$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 X: 將 X 單獨置於等號的左邊。

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

從方程式兩邊減去 4Y。

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

將兩邊同時除以 2。

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -4Y+\frac{5}{2}。

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 -9X+8Y=9 中以 -2Y+\frac{5}{4} 代入 X在方程式。

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

-9 乘上 -2Y+\frac{5}{4}。

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

將 18Y 加到 8Y。

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

將 \frac{45}{4} 加到方程式的兩邊。

$$26Y=\frac{81}{4}$$

將兩邊同時除以 26。

$$Y=\frac{81}{104}$$

在 X=-2Y+\frac{5}{4} 中以 \frac{81}{104} 代入 Y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 X。

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

-2 乘上 \frac{81}{104}。

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

將 \frac{5}{4} 與 -\frac{81}{52} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$X=-\frac{4}{13}$$

現已成功解出系統。

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2 至兩側。

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

將 \frac{1}{2} 與 2 相加可以得到 \frac{5}{2}。

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

考慮第二個方程式。 計算 8 乘上 Y-\frac{1}{2} 時使用乘法分配律。

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

計算 9 乘上 X+1 時使用乘法分配律。

$$8Y-4=9X+9-4$$

從 9 減去 4 會得到 5。

$$8Y-4=9X+5$$

從兩邊減去 9X。

$$8Y-4-9X=5$$

新增 4 至兩側。

$$8Y-9X=5+4$$

將 5 與 4 相加可以得到 9。

$$8Y-9X=9$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 X 和 Y。

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2 至兩側。

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

將 \frac{1}{2} 與 2 相加可以得到 \frac{5}{2}。

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

考慮第二個方程式。 計算 8 乘上 Y-\frac{1}{2} 時使用乘法分配律。

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

計算 9 乘上 X+1 時使用乘法分配律。

$$8Y-4=9X+9-4$$

從 9 減去 4 會得到 5。

$$8Y-4=9X+5$$

從兩邊減去 9X。

$$8Y-4-9X=5$$

新增 4 至兩側。

$$8Y-9X=5+4$$

將 5 與 4 相加可以得到 9。

$$8Y-9X=9$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

讓 2X 和 -9X 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

化簡。

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -18X-36Y=-\frac{45}{2} 減去 -18X+16Y=18。

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

將 -18X 加到 18X。 -18X 和 18X 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

將 -36Y 加到 -16Y。

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

將 -\frac{45}{2} 加到 -18。

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

將兩邊同時除以 -52。

$$Y=\frac{81}{104}$$

在 -9X+8Y=9 中以 \frac{81}{104} 代入 Y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 X。

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

8 乘上 \frac{81}{104}。

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

從方程式兩邊減去 \frac{81}{13}。

$$-9X=\frac{36}{13}$$

將兩邊同時除以 -9。

$$X=-\frac{4}{13}$$

現已成功解出系統。

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$