解決{l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 將兩邊同時除以 2。

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

運算式 \frac{\frac{1}{2}}{2} 為最簡分數。

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

將 2 乘上 2 得到 4。

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

考慮第二個方程式。 將兩邊同時乘上 2，\frac{1}{2} 的倒數。

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

將 \frac{3}{2} 乘上 2 得到 3。

$$2x+8y=3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

從方程式兩邊減去 y。

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -y+\frac{1}{4}。

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

在另一個方程式 2x+8y=3 中以 -\frac{y}{3}+\frac{1}{12} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

2 乘上 -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}。

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

將 -\frac{2y}{3} 加到 8y。

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{6}。

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{22}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{17}{44}$$

在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12} 中以 \frac{17}{44} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

-\frac{1}{3} 乘上 \frac{17}{44} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

將 \frac{1}{12} 與 -\frac{17}{132} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{1}{22}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 將兩邊同時除以 2。

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

運算式 \frac{\frac{1}{2}}{2} 為最簡分數。

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

將 2 乘上 2 得到 4。

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

考慮第二個方程式。 將兩邊同時乘上 2，\frac{1}{2} 的倒數。

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

將 \frac{3}{2} 乘上 2 得到 3。

$$2x+8y=3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 將兩邊同時除以 2。

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

運算式 \frac{\frac{1}{2}}{2} 為最簡分數。

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

將 2 乘上 2 得到 4。

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

考慮第二個方程式。 將兩邊同時乘上 2，\frac{1}{2} 的倒數。

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

將 \frac{3}{2} 乘上 2 得到 3。

$$2x+8y=3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

化簡。

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+2y=\frac{1}{2} 減去 6x+24y=9。

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

將 2y 加到 -24y。

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

將 \frac{1}{2} 加到 -9。

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

將兩邊同時除以 -22。

$$y=\frac{17}{44}$$

在 2x+8y=3 中以 \frac{17}{44} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

8 乘上 \frac{17}{44}。

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{34}{11}。

$$2x=-\frac{1}{11}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-\frac{1}{22}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$