解決{l}{18x+15y=12}{30x-15y=-100} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x + 15 y = 12 } \\ { 30 x - 15 y = - 100 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{11}{6} = -1\frac{5}{6} \approx -1.833333333$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$18x+15y=12,30x-15y=-100$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$18x+15y=12$$

從方程式兩邊減去 15y。

$$18x=-15y+12$$

將兩邊同時除以 18。

$$x=\frac{1}{18}\left(-15y+12\right)$$

\frac{1}{18} 乘上 -15y+12。

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 30x-15y=-100 中以 -\frac{5y}{6}+\frac{2}{3} 代入 x在方程式。

$$30\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}\right)-15y=-100$$

30 乘上 -\frac{5y}{6}+\frac{2}{3}。

$$-25y+20-15y=-100$$

將 -25y 加到 -15y。

$$-40y+20=-100$$

從方程式兩邊減去 20。

$$-40y=-120$$

將兩邊同時除以 -40。

$$y=3$$

在 x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{6}\times 3+\frac{2}{3}$$

-\frac{5}{6} 乘上 3。

$$x=-\frac{5}{2}+\frac{2}{3}$$

將 \frac{2}{3} 與 -\frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{11}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{11}{6},y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$18x+15y=12,30x-15y=-100$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{18\left(-15\right)-15\times 30}&-\frac{15}{18\left(-15\right)-15\times 30}\\-\frac{30}{18\left(-15\right)-15\times 30}&\frac{18}{18\left(-15\right)-15\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}&\frac{1}{48}\\\frac{1}{24}&-\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}\times 12+\frac{1}{48}\left(-100\right)\\\frac{1}{24}\times 12-\frac{1}{40}\left(-100\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{6}\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{11}{6},y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$18x+15y=12,30x-15y=-100$$

讓 18x 和 30x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 30，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 18。

$$30\times 18x+30\times 15y=30\times 12,18\times 30x+18\left(-15\right)y=18\left(-100\right)$$

化簡。

$$540x+450y=360,540x-270y=-1800$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 540x+450y=360 減去 540x-270y=-1800。

$$540x-540x+450y+270y=360+1800$$

將 540x 加到 -540x。 540x 和 -540x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$450y+270y=360+1800$$

將 450y 加到 270y。

$$720y=360+1800$$

將 360 加到 1800。

$$720y=2160$$

將兩邊同時除以 720。

$$y=3$$

在 30x-15y=-100 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$30x-15\times 3=-100$$

-15 乘上 3。

$$30x-45=-100$$

將 45 加到方程式的兩邊。

$$30x=-55$$

將兩邊同時除以 30。

$$x=-\frac{11}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{11}{6},y=3$$