解決{l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$1200x+1600y=18$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$600x+2400y=17$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$1200x+1600y=18$$

從方程式兩邊減去 1600y。

$$1200x=-1600y+18$$

將兩邊同時除以 1200。

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

\frac{1}{1200} 乘上 -1600y+18。

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

在另一個方程式 600x+2400y=17 中以 -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} 代入 x在方程式。

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

600 乘上 -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200}。

$$-800y+9+2400y=17$$

將 -800y 加到 2400y。

$$1600y+9=17$$

從方程式兩邊減去 9。

$$1600y=8$$

將兩邊同時除以 1600。

$$y=\frac{1}{200}$$

在 x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200} 中以 \frac{1}{200} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

-\frac{4}{3} 乘上 \frac{1}{200} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

將 \frac{3}{200} 與 -\frac{1}{150} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{1}{120}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$1200x+1600y=18$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$600x+2400y=17$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$1200x+1600y=18$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$600x+2400y=17$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

讓 1200x 和 600x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 600，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1200。

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

化簡。

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 720000x+960000y=10800 減去 720000x+2880000y=20400。

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

將 720000x 加到 -720000x。 720000x 和 -720000x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

將 960000y 加到 -2880000y。

$$-1920000y=10800-20400$$

將 10800 加到 -20400。

$$-1920000y=-9600$$

將兩邊同時除以 -1920000。

$$y=\frac{1}{200}$$

在 600x+2400y=17 中以 \frac{1}{200} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

2400 乘上 \frac{1}{200}。

$$600x+12=17$$

從方程式兩邊減去 12。

$$600x=5$$

將兩邊同時除以 600。

$$x=\frac{1}{120}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$