解決{l}{16x-7y=-7}{20x-19y=-6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 7 y = - 7 } \\ { 20 x - 19 y = - 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{91}{164}\approx -0.554878049$$

$$y=-\frac{11}{41}\approx -0.268292683$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$16x-7y=-7$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$16x=7y-7$$

將兩邊同時除以 16。

$$x=\frac{1}{16}\left(7y-7\right)$$

\frac{1}{16} 乘上 -7+7y。

$$x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}$$

在另一個方程式 20x-19y=-6 中以 \frac{-7+7y}{16} 代入 x在方程式。

$$20\left(\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}\right)-19y=-6$$

20 乘上 \frac{-7+7y}{16}。

$$\frac{35}{4}y-\frac{35}{4}-19y=-6$$

將 \frac{35y}{4} 加到 -19y。

$$-\frac{41}{4}y-\frac{35}{4}=-6$$

將 \frac{35}{4} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{41}{4}y=\frac{11}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{41}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{11}{41}$$

在 x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16} 中以 -\frac{11}{41} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{16}\left(-\frac{11}{41}\right)-\frac{7}{16}$$

\frac{7}{16} 乘上 -\frac{11}{41} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{77}{656}-\frac{7}{16}$$

將 -\frac{7}{16} 與 -\frac{77}{656} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{91}{164}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&-\frac{-7}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\\-\frac{20}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&\frac{16}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}&-\frac{7}{164}\\\frac{5}{41}&-\frac{4}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}\left(-7\right)-\frac{7}{164}\left(-6\right)\\\frac{5}{41}\left(-7\right)-\frac{4}{41}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{91}{164}\\-\frac{11}{41}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

讓 16x 和 20x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 20，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 16。

$$20\times 16x+20\left(-7\right)y=20\left(-7\right),16\times 20x+16\left(-19\right)y=16\left(-6\right)$$

化簡。

$$320x-140y=-140,320x-304y=-96$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 320x-140y=-140 減去 320x-304y=-96。

$$320x-320x-140y+304y=-140+96$$

將 320x 加到 -320x。 320x 和 -320x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-140y+304y=-140+96$$

將 -140y 加到 304y。

$$164y=-140+96$$

將 -140 加到 96。

$$164y=-44$$

將兩邊同時除以 164。

$$y=-\frac{11}{41}$$

在 20x-19y=-6 中以 -\frac{11}{41} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$20x-19\left(-\frac{11}{41}\right)=-6$$

-19 乘上 -\frac{11}{41}。

$$20x+\frac{209}{41}=-6$$

從方程式兩邊減去 \frac{209}{41}。

$$20x=-\frac{455}{41}$$

將兩邊同時除以 20。

$$x=-\frac{91}{164}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$