解決{l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$16x-10y=10$$

將 10y 加到方程式的兩邊。

$$16x=10y+10$$

將兩邊同時除以 16。

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

\frac{1}{16} 乘上 10+10y。

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

在另一個方程式 -8x-6y=6 中以 \frac{5+5y}{8} 代入 x在方程式。

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

-8 乘上 \frac{5+5y}{8}。

$$-5y-5-6y=6$$

將 -5y 加到 -6y。

$$-11y-5=6$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$-11y=11$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=-1$$

在 x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

\frac{5}{8} 乘上 -1。

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

將 \frac{5}{8} 與 -\frac{5}{8} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

讓 16x 和 -8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 16。

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

化簡。

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -128x+80y=-80 減去 -128x-96y=96。

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

將 -128x 加到 128x。 -128x 和 128x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$80y+96y=-80-96$$

將 80y 加到 96y。

$$176y=-80-96$$

將 -80 加到 -96。

$$176y=-176$$

將兩邊同時除以 176。

$$y=-1$$

在 -8x-6y=6 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

-6 乘上 -1。

$$-8x+6=6$$

從方程式兩邊減去 6。

$$-8x=0$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-1$$