解決{l}{15x-5y=4000}{9x-2y=4000} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x - 5 y = 4000 } \\ { 9 x - 2 y = 4000 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=800$$

$$y=1600$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$15x-5y=4000,9x-2y=4000$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$15x-5y=4000$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$15x=5y+4000$$

將兩邊同時除以 15。

$$x=\frac{1}{15}\left(5y+4000\right)$$

\frac{1}{15} 乘上 4000+5y。

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{800}{3}$$

在另一個方程式 9x-2y=4000 中以 \frac{800+y}{3} 代入 x在方程式。

$$9\left(\frac{1}{3}y+\frac{800}{3}\right)-2y=4000$$

9 乘上 \frac{800+y}{3}。

$$3y+2400-2y=4000$$

將 3y 加到 -2y。

$$y+2400=4000$$

從方程式兩邊減去 2400。

$$y=1600$$

在 x=\frac{1}{3}y+\frac{800}{3} 中以 1600 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\times 1600+\frac{800}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 1600。

$$x=\frac{1600+800}{3}$$

將 \frac{800}{3} 與 \frac{1600}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=800$$

現已成功解出系統。

$$x=800,y=1600$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$15x-5y=4000,9x-2y=4000$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{1}{3}\\-\frac{3}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 4000+\frac{1}{3}\times 4000\\-\frac{3}{5}\times 4000+4000\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\1600\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=800,y=1600$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$15x-5y=4000,9x-2y=4000$$

讓 15x 和 9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 15。

$$9\times 15x+9\left(-5\right)y=9\times 4000,15\times 9x+15\left(-2\right)y=15\times 4000$$

化簡。

$$135x-45y=36000,135x-30y=60000$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 135x-45y=36000 減去 135x-30y=60000。

$$135x-135x-45y+30y=36000-60000$$

將 135x 加到 -135x。 135x 和 -135x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-45y+30y=36000-60000$$

將 -45y 加到 30y。

$$-15y=36000-60000$$

將 36000 加到 -60000。

$$-15y=-24000$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=1600$$

在 9x-2y=4000 中以 1600 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$9x-2\times 1600=4000$$

-2 乘上 1600。

$$9x-3200=4000$$

將 3200 加到方程式的兩邊。

$$9x=7200$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=800$$

現已成功解出系統。

$$x=800,y=1600$$