Solve {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1} | Microsoft Math Solver

解 x, y

圖表

測驗

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13x+20y=48,20x+93y=1

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

13x+20y=48

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

13x=-20y+48

從方程式兩邊減去 20y。

x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)

將兩邊同時除以 13。

x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}

\frac{1}{13} 乘上 -20y+48。

20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1

在另一個方程式 20x+93y=1 中以 \frac{-20y+48}{13} 代入 x在方程式。

-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1

20 乘上 \frac{-20y+48}{13}。

\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1

將 -\frac{400y}{13} 加到 93y。

\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}

從方程式兩邊減去 \frac{960}{13}。

y=-\frac{947}{809}

對方程式的兩邊同時除以 \frac{809}{13}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}

在 x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13} 中以 -\frac{947}{809} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}

-\frac{20}{13} 乘上 -\frac{947}{809} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

x=\frac{4444}{809}

將 \frac{48}{13} 與 \frac{18940}{10517} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}

現已成功解出系統。

13x+20y=48,20x+93y=1

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)

計算。

x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}

解出矩陣元素 x 和 y。

13x+20y=48,20x+93y=1

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13

讓 13x 和 20x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 20，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 13。

260x+400y=960,260x+1209y=13

化簡。

260x-260x+400y-1209y=960-13