解決{l}{12x+5y=0}{4x-10y=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 5 y = 0 } \\ { 4 x - 10 y = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$12x+5y=0,4x-10y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$12x+5y=0$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$12x=-5y$$

將兩邊同時除以 12。

$$x=\frac{1}{12}\left(-5\right)y$$

\frac{1}{12} 乘上 -5y。

$$x=-\frac{5}{12}y$$

在另一個方程式 4x-10y=0 中以 -\frac{5y}{12} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{5}{12}\right)y-10y=0$$

4 乘上 -\frac{5y}{12}。

$$-\frac{5}{3}y-10y=0$$

將 -\frac{5y}{3} 加到 -10y。

$$-\frac{35}{3}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{35}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=-\frac{5}{12}y 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$12x+5y=0,4x-10y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&5\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{12\left(-10\right)-5\times 4}&-\frac{5}{12\left(-10\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{12\left(-10\right)-5\times 4}&\frac{12}{12\left(-10\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{1}{28}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$12x+5y=0,4x-10y=0$$

讓 12x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 12。

$$4\times 12x+4\times 5y=0,12\times 4x+12\left(-10\right)y=0$$

化簡。

$$48x+20y=0,48x-120y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 48x+20y=0 減去 48x-120y=0。

$$48x-48x+20y+120y=0$$

將 48x 加到 -48x。 48x 和 -48x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y+120y=0$$

將 20y 加到 120y。

$$140y=0$$

將兩邊同時除以 140。

$$y=0$$

在 4x-10y=0 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x=0$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=0$$