解決{l}{12x+4y=6}{9x+16y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$12x+4y=6$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$12x=-4y+6$$

將兩邊同時除以 12。

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

\frac{1}{12} 乘上 -4y+6。

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 9x+16y=8 中以 -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} 代入 x在方程式。

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

9 乘上 -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}。

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

將 -3y 加到 16y。

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。

$$13y=\frac{7}{2}$$

將兩邊同時除以 13。

$$y=\frac{7}{26}$$

在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} 中以 \frac{7}{26} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

-\frac{1}{3} 乘上 \frac{7}{26} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 -\frac{7}{78} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{16}{39}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

讓 12x 和 9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 12。

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

化簡。

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 108x+36y=54 減去 108x+192y=96。

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

將 108x 加到 -108x。 108x 和 -108x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$36y-192y=54-96$$

將 36y 加到 -192y。

$$-156y=54-96$$

將 54 加到 -96。

$$-156y=-42$$

將兩邊同時除以 -156。

$$y=\frac{7}{26}$$

在 9x+16y=8 中以 \frac{7}{26} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

16 乘上 \frac{7}{26}。

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{56}{13}。

$$9x=\frac{48}{13}$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{16}{39}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$