解決{l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=-1$$

$$b=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$12a+4b=-4$$

從方程式兩邊減去 4b。

$$12a=-4b-4$$

將兩邊同時除以 12。

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

\frac{1}{12} 乘上 -4b-4。

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

在另一個方程式 3a-9b=-21 中以 \frac{-b-1}{3} 代入 a在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

3 乘上 \frac{-b-1}{3}。

$$-b-1-9b=-21$$

將 -b 加到 -9b。

$$-10b-1=-21$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$-10b=-20$$

將兩邊同時除以 -10。

$$b=2$$

在 a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3} 中以 2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3} 乘上 2。

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

將 -\frac{1}{3} 與 -\frac{2}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=-1$$

現已成功解出系統。

$$a=-1,b=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=-1,b=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

讓 12a 和 3a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 12。

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

化簡。

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 36a+12b=-12 減去 36a-108b=-252。

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

將 36a 加到 -36a。 36a 和 -36a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12b+108b=-12+252$$

將 12b 加到 108b。

$$120b=-12+252$$

將 -12 加到 252。

$$120b=240$$

將兩邊同時除以 120。

$$b=2$$

在 3a-9b=-21 中以 2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$3a-9\times 2=-21$$

-9 乘上 2。

$$3a-18=-21$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$3a=-3$$

將兩邊同時除以 3。

$$a=-1$$

現已成功解出系統。

$$a=-1,b=2$$