解決{l}{11x+14y=156}{16x+16y=192} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 14 y = 156 } \\ { 16 x + 16 y = 192 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$11x+14y=156,16x+16y=192$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$11x+14y=156$$

從方程式兩邊減去 14y。

$$11x=-14y+156$$

將兩邊同時除以 11。

$$x=\frac{1}{11}\left(-14y+156\right)$$

\frac{1}{11} 乘上 -14y+156。

$$x=-\frac{14}{11}y+\frac{156}{11}$$

在另一個方程式 16x+16y=192 中以 \frac{-14y+156}{11} 代入 x在方程式。

$$16\left(-\frac{14}{11}y+\frac{156}{11}\right)+16y=192$$

16 乘上 \frac{-14y+156}{11}。

$$-\frac{224}{11}y+\frac{2496}{11}+16y=192$$

將 -\frac{224y}{11} 加到 16y。

$$-\frac{48}{11}y+\frac{2496}{11}=192$$

從方程式兩邊減去 \frac{2496}{11}。

$$-\frac{48}{11}y=-\frac{384}{11}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{48}{11}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=8$$

在 x=-\frac{14}{11}y+\frac{156}{11} 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{14}{11}\times 8+\frac{156}{11}$$

-\frac{14}{11} 乘上 8。

$$x=\frac{-112+156}{11}$$

將 \frac{156}{11} 與 -\frac{112}{11} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$11x+14y=156,16x+16y=192$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&14\\16&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11\times 16-14\times 16}&-\frac{14}{11\times 16-14\times 16}\\-\frac{16}{11\times 16-14\times 16}&\frac{11}{11\times 16-14\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{7}{24}\\\frac{1}{3}&-\frac{11}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}156\\192\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 156+\frac{7}{24}\times 192\\\frac{1}{3}\times 156-\frac{11}{48}\times 192\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=8$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$11x+14y=156,16x+16y=192$$

讓 11x 和 16x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 16，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 11。

$$16\times 11x+16\times 14y=16\times 156,11\times 16x+11\times 16y=11\times 192$$

化簡。

$$176x+224y=2496,176x+176y=2112$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 176x+224y=2496 減去 176x+176y=2112。

$$176x-176x+224y-176y=2496-2112$$

將 176x 加到 -176x。 176x 和 -176x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$224y-176y=2496-2112$$

將 224y 加到 -176y。

$$48y=2496-2112$$

將 2496 加到 -2112。

$$48y=384$$

將兩邊同時除以 48。

$$y=8$$

在 16x+16y=192 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$16x+16\times 8=192$$

16 乘上 8。

$$16x+128=192$$

從方程式兩邊減去 128。

$$16x=64$$

將兩邊同時除以 16。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=8$$