解決{l}{10x+5y=15}{5x+6y=-3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 15 } \\ { 5 x + 6 y = - 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$10x+5y=15,5x+6y=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$10x+5y=15$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$10x=-5y+15$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+15\right)$$

\frac{1}{10} 乘上 -5y+15。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 5x+6y=-3 中以 \frac{-y+3}{2} 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+6y=-3$$

5 乘上 \frac{-y+3}{2}。

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}+6y=-3$$

將 -\frac{5y}{2} 加到 6y。

$$\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}=-3$$

從方程式兩邊減去 \frac{15}{2}。

$$\frac{7}{2}y=-\frac{21}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-3$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3\right)+\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 -3。

$$x=\frac{3+3}{2}$$

將 \frac{3}{2} 與 \frac{3}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$10x+5y=15,5x+6y=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{10\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{10\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{10\times 6-5\times 5}&\frac{10}{10\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{35}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{35}\times 15-\frac{1}{7}\left(-3\right)\\-\frac{1}{7}\times 15+\frac{2}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$10x+5y=15,5x+6y=-3$$

讓 10x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 10。

$$5\times 10x+5\times 5y=5\times 15,10\times 5x+10\times 6y=10\left(-3\right)$$

化簡。

$$50x+25y=75,50x+60y=-30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 50x+25y=75 減去 50x+60y=-30。

$$50x-50x+25y-60y=75+30$$

將 50x 加到 -50x。 50x 和 -50x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$25y-60y=75+30$$

將 25y 加到 -60y。

$$-35y=75+30$$

將 75 加到 30。

$$-35y=105$$

將兩邊同時除以 -35。

$$y=-3$$

在 5x+6y=-3 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+6\left(-3\right)=-3$$

6 乘上 -3。

$$5x-18=-3$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$5x=15$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-3$$