解 x、y
x=3
y=-1
圖表
共享
已復制到剪貼板
10x+3y=27,8x-3y=27
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
10x+3y=27
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
10x=-3y+27
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{10}\left(-3y+27\right)
將兩邊同時除以 10。
x=-\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}
\frac{1}{10} 乘上 -3y+27。
8\left(-\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}\right)-3y=27
在另一個方程式 8x-3y=27 中以 \frac{-3y+27}{10} 代入 x在方程式。
-\frac{12}{5}y+\frac{108}{5}-3y=27
8 乘上 \frac{-3y+27}{10}。
-\frac{27}{5}y+\frac{108}{5}=27
將 -\frac{12y}{5} 加到 -3y。
-\frac{27}{5}y=\frac{27}{5}
從方程式兩邊減去 \frac{108}{5}。
y=-1
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{27}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)+\frac{27}{10}
在 x=-\frac{3}{10}y+\frac{27}{10} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{3+27}{10}
-\frac{3}{10} 乘上 -1。
x=3
將 \frac{27}{10} 與 \frac{3}{10} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=3,y=-1
現已成功解出系統。
10x+3y=27,8x-3y=27
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}10&3\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}10&3\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&3\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&3\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}10&3\\8&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&3\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&3\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10\left(-3\right)-3\times 8}&-\frac{3}{10\left(-3\right)-3\times 8}\\-\frac{8}{10\left(-3\right)-3\times 8}&\frac{10}{10\left(-3\right)-3\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&\frac{1}{18}\\\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 27+\frac{1}{18}\times 27\\\frac{4}{27}\times 27-\frac{5}{27}\times 27\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=-1
解出矩陣元素 x 和 y。
10x+3y=27,8x-3y=27
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
8\times 10x+8\times 3y=8\times 27,10\times 8x+10\left(-3\right)y=10\times 27
讓 10x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 10。
80x+24y=216,80x-30y=270
化簡。
80x-80x+24y+30y=216-270
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 80x+24y=216 減去 80x-30y=270。
24y+30y=216-270
將 80x 加到 -80x。 80x 和 -80x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
54y=216-270
將 24y 加到 30y。
54y=-54
將 216 加到 -270。
y=-1
將兩邊同時除以 54。
8x-3\left(-1\right)=27
在 8x-3y=27 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
8x+3=27
-3 乘上 -1。
8x=24
從方程式兩邊減去 3。
x=3
將兩邊同時除以 8。
x=3,y=-1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}