解決{l}{10x+2y=50}{7x+2y=20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=10$$

$$y=-25$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$10x+2y=50$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$10x=-2y+50$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

\frac{1}{10} 乘上 -2y+50。

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

在另一個方程式 7x+2y=20 中以 -\frac{y}{5}+5 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

7 乘上 -\frac{y}{5}+5。

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

將 -\frac{7y}{5} 加到 2y。

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

從方程式兩邊減去 35。

$$\frac{3}{5}y=-15$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-25$$

在 x=-\frac{1}{5}y+5 中以 -25 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

-\frac{1}{5} 乘上 -25。

$$x=5+5$$

將 5 加到 5。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-25$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=10,y=-25$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+2y=50 減去 7x+2y=20。

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

將 2y 加到 -2y。 2y 和 -2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10x-7x=50-20$$

將 10x 加到 -7x。

$$3x=50-20$$

將 50 加到 -20。

$$3x=30$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=10$$

在 7x+2y=20 中以 10 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$7\times 10+2y=20$$

7 乘上 10。

$$70+2y=20$$

從方程式兩邊減去 70。

$$2y=-50$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-25$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-25$$