解決{l}{1x-3y=1}{3y+x=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x - 3 y = 1 } \\ { 3 y + x = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-3y=1,x+3y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-3y=1$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$x=3y+1$$

在另一個方程式 x+3y=2 中以 3y+1 代入 x在方程式。

$$3y+1+3y=2$$

將 3y 加到 3y。

$$6y+1=2$$

從方程式兩邊減去 1。

$$6y=1$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=\frac{1}{6}$$

在 x=3y+1 中以 \frac{1}{6} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3\times \frac{1}{6}+1$$

3 乘上 \frac{1}{6}。

$$x=\frac{1}{2}+1$$

將 1 加到 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-3y=1,x+3y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 2\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-3y=1,x+3y=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-3y=1 減去 x+3y=2。

$$x-x-3y-3y=1-2$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y-3y=1-2$$

將 -3y 加到 -3y。

$$-6y=1-2$$

將 1 加到 -2。

$$-6y=-1$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=\frac{1}{6}$$

在 x+3y=2 中以 \frac{1}{6} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+3\times \frac{1}{6}=2$$

3 乘上 \frac{1}{6}。

$$x+\frac{1}{2}=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$