解決{l}{1x+4y=280}{4x+1y=124} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} = 14.4$$

$$y = \frac{332}{5} = 66\frac{2}{5} = 66.4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+4y=280,4x+y=124$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+4y=280$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$x=-4y+280$$

在另一個方程式 4x+y=124 中以 -4y+280 代入 x在方程式。

$$4\left(-4y+280\right)+y=124$$

4 乘上 -4y+280。

$$-16y+1120+y=124$$

將 -16y 加到 y。

$$-15y+1120=124$$

從方程式兩邊減去 1120。

$$-15y=-996$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=\frac{332}{5}$$

在 x=-4y+280 中以 \frac{332}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-4\times \frac{332}{5}+280$$

-4 乘上 \frac{332}{5}。

$$x=-\frac{1328}{5}+280$$

將 280 加到 -\frac{1328}{5}。

$$x=\frac{72}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+4y=280,4x+y=124$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 4}&-\frac{4}{1-4\times 4}\\-\frac{4}{1-4\times 4}&\frac{1}{1-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 280+\frac{4}{15}\times 124\\\frac{4}{15}\times 280-\frac{1}{15}\times 124\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{72}{5}\\\frac{332}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+4y=280,4x+y=124$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4\times 4y=4\times 280,4x+y=124$$

化簡。

$$4x+16y=1120,4x+y=124$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+16y=1120 減去 4x+y=124。

$$4x-4x+16y-y=1120-124$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$16y-y=1120-124$$

將 16y 加到 -y。

$$15y=1120-124$$

將 1120 加到 -124。

$$15y=996$$

將兩邊同時除以 15。

$$y=\frac{332}{5}$$

在 4x+y=124 中以 \frac{332}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+\frac{332}{5}=124$$

從方程式兩邊減去 \frac{332}{5}。

$$4x=\frac{288}{5}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{72}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$