解決{l}{1c+1V=16500}{2c+3V=40500} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 1 c + 1 V = 16500 } \\ { 2 c + 3 V = 40500 } \end{array} \right.$$

解 c、V

$$c=9000$$

$$V=7500$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 c: 將 c 單獨置於等號的左邊。

$$c+V=16500$$

從方程式兩邊減去 V。

$$c=-V+16500$$

在另一個方程式 2c+3V=40500 中以 -V+16500 代入 c在方程式。

$$2\left(-V+16500\right)+3V=40500$$

2 乘上 -V+16500。

$$-2V+33000+3V=40500$$

將 -2V 加到 3V。

$$V+33000=40500$$

從方程式兩邊減去 33000。

$$V=7500$$

在 c=-V+16500 中以 7500 代入 V。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 c。

$$c=-7500+16500$$

將 16500 加到 -7500。

$$c=9000$$

現已成功解出系統。

$$c=9000,V=7500$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16500-40500\\-2\times 16500+40500\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9000\\7500\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 c 和 V。

$$c=9000,V=7500$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

讓 c 和 2c 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2c+2V=2\times 16500,2c+3V=40500$$

化簡。

$$2c+2V=33000,2c+3V=40500$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2c+2V=33000 減去 2c+3V=40500。

$$2c-2c+2V-3V=33000-40500$$

將 2c 加到 -2c。 2c 和 -2c 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2V-3V=33000-40500$$

將 2V 加到 -3V。

$$-V=33000-40500$$

將 33000 加到 -40500。

$$-V=-7500$$

將兩邊同時除以 -1。

$$V=7500$$

在 2c+3V=40500 中以 7500 代入 V。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 c。

$$2c+3\times 7500=40500$$

3 乘上 7500。

$$2c+22500=40500$$

從方程式兩邊減去 22500。

$$2c=18000$$

將兩邊同時除以 2。

$$c=9000$$

現已成功解出系統。

$$c=9000,V=7500$$