解決{l}{0.4x+0.6y=132}{x+y=240} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.6 y = 132 } \\ { x + y = 240 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=60$$

$$y=180$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$0.4x+0.6y=132$$

從方程式兩邊減去 \frac{3y}{5}。

$$0.4x=-0.6y+132$$

對方程式的兩邊同時除以 0.4，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=2.5\left(-0.6y+132\right)$$

2.5 乘上 -\frac{3y}{5}+132。

$$x=-1.5y+330$$

在另一個方程式 x+y=240 中以 -\frac{3y}{2}+330 代入 x在方程式。

$$-1.5y+330+y=240$$

將 -\frac{3y}{2} 加到 y。

$$-0.5y+330=240$$

從方程式兩邊減去 330。

$$-0.5y=-90$$

將兩邊同時乘上 -2。

$$y=180$$

在 x=-1.5y+330 中以 180 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-1.5\times 180+330$$

-1.5 乘上 180。

$$x=-270+330$$

將 330 加到 -270。

$$x=60$$

現已成功解出系統。

$$x=60,y=180$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.4-0.6}&-\frac{0.6}{0.4-0.6}\\-\frac{1}{0.4-0.6}&\frac{0.4}{0.4-0.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 132+3\times 240\\5\times 132-2\times 240\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\180\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=60,y=180$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

讓 \frac{2x}{5} 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.4。

$$0.4x+0.6y=132,0.4x+0.4y=0.4\times 240$$

化簡。

$$0.4x+0.6y=132,0.4x+0.4y=96$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 0.4x+0.6y=132 減去 0.4x+0.4y=96。

$$0.4x-0.4x+0.6y-0.4y=132-96$$

將 \frac{2x}{5} 加到 -\frac{2x}{5}。 \frac{2x}{5} 和 -\frac{2x}{5} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$0.6y-0.4y=132-96$$

將 \frac{3y}{5} 加到 -\frac{2y}{5}。

$$0.2y=132-96$$

將 132 加到 -96。

$$0.2y=36$$

將兩邊同時乘上 5。

$$y=180$$

在 x+y=240 中以 180 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+180=240$$

從方程式兩邊減去 180。

$$x=60$$

現已成功解出系統。

$$x=60,y=180$$