解 x_3、x_2
x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271
x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574
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0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x_{3}: 將 x_{3} 單獨置於等號的左邊。
0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9
從方程式兩邊減去 \frac{4x_{2}}{25}。
x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)
對方程式的兩邊同時除以 0.041，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}
\frac{1000}{41} 乘上 -\frac{4x_{2}}{25}+0.9。
-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117
在另一個方程式 -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 中以 \frac{-160x_{2}+900}{41} 代入 x_{3}在方程式。
\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117
-0.002 乘上 \frac{-160x_{2}+900}{41}。
\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117
將 \frac{8x_{2}}{1025} 加到 \frac{41x_{2}}{1000}。
\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}
將 \frac{9}{205} 加到方程式的兩邊。
x_{2}=\frac{2199}{667}
對方程式的兩邊同時除以 \frac{2001}{41000}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}
在 x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41} 中以 \frac{2199}{667} 代入 x_{2}。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x_{3}。
x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}
-\frac{160}{41} 乘上 \frac{2199}{667} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
x_{3}=\frac{6060}{667}
將 \frac{900}{41} 與 -\frac{351840}{27347} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}
現已成功解出系統。
0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)
計算。
x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}
解出矩陣元素 x_{3} 和 x_{2}。
0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117
讓 \frac{41x_{3}}{1000} 和 -\frac{x_{3}}{500} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -0.002，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.041。
-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797
化簡。
-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 減去 -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797。
-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797
將 -\frac{41x_{3}}{500000} 加到 \frac{41x_{3}}{500000}。 -\frac{41x_{3}}{500000} 和 \frac{41x_{3}}{500000} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797
將 -\frac{x_{2}}{3125} 加到 -\frac{1681x_{2}}{1000000}。
-0.002001x_{2}=-0.006597
將 -0.0018 與 -0.004797 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x_{2}=\frac{2199}{667}
對方程式的兩邊同時除以 -0.002001，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117
在 -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 中以 \frac{2199}{667} 代入 x_{2}。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x_{3}。
-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117
0.041 乘上 \frac{2199}{667} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}
從方程式兩邊減去 \frac{90159}{667000}。
x_{3}=\frac{6060}{667}
將兩邊同時乘上 -500。
x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}