解決{l}{0=1/3-b+c}{0=3+3b+c} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = \frac { 1 } { 3 } - b + c } \\ { 0 = 3 + 3 b + c } \end{array} \right.$$

解 b、c

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$c=-1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

從兩邊減去 \frac{1}{3}。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$3+3b+c=0$$

從兩邊減去 3。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3b+c=-3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 b: 將 b 單獨置於等號的左邊。

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

從方程式兩邊減去 c。

$$-b=-c-\frac{1}{3}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$b=-\left(-c-\frac{1}{3}\right)$$

-1 乘上 -c-\frac{1}{3}。

$$b=c+\frac{1}{3}$$

在另一個方程式 3b+c=-3 中以 c+\frac{1}{3} 代入 b在方程式。

$$3\left(c+\frac{1}{3}\right)+c=-3$$

3 乘上 c+\frac{1}{3}。

$$3c+1+c=-3$$

將 3c 加到 c。

$$4c+1=-3$$

從方程式兩邊減去 1。

$$4c=-4$$

將兩邊同時除以 4。

$$c=-1$$

在 b=c+\frac{1}{3} 中以 -1 代入 c。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$b=-1+\frac{1}{3}$$

將 \frac{1}{3} 加到 -1。

$$b=-\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

從兩邊減去 \frac{1}{3}。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$3+3b+c=0$$

從兩邊減去 3。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3b+c=-3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 b 和 c。

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

從兩邊減去 \frac{1}{3}。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$3+3b+c=0$$

從兩邊減去 3。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3b+c=-3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -b+c=-\frac{1}{3} 減去 3b+c=-3。

$$-b-3b+c-c=-\frac{1}{3}+3$$

將 c 加到 -c。 c 和 -c 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-b-3b=-\frac{1}{3}+3$$

將 -b 加到 -3b。

$$-4b=-\frac{1}{3}+3$$

將 -\frac{1}{3} 加到 3。

$$-4b=\frac{8}{3}$$

將兩邊同時除以 -4。

$$b=-\frac{2}{3}$$

在 3b+c=-3 中以 -\frac{2}{3} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 c。

$$3\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-3$$

3 乘上 -\frac{2}{3}。

$$-2+c=-3$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$c=-1$$

現已成功解出系統。

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$