解決{l}{-x-y=-2}{9x-2y=-15} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - x - y = - 2 } \\ { 9 x - 2 y = - 15 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-x-y=-2$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$-x=y-2$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\left(y-2\right)$$

-1 乘上 y-2。

$$x=-y+2$$

在另一個方程式 9x-2y=-15 中以 -y+2 代入 x在方程式。

$$9\left(-y+2\right)-2y=-15$$

9 乘上 -y+2。

$$-9y+18-2y=-15$$

將 -9y 加到 -2y。

$$-11y+18=-15$$

從方程式兩邊減去 18。

$$-11y=-33$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=3$$

在 x=-y+2 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3+2$$

將 2 加到 -3。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{9}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-2\right)+\frac{1}{11}\left(-15\right)\\-\frac{9}{11}\left(-2\right)-\frac{1}{11}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

讓 -x 和 9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1。

$$9\left(-1\right)x+9\left(-1\right)y=9\left(-2\right),-9x-\left(-2y\right)=-\left(-15\right)$$

化簡。

$$-9x-9y=-18,-9x+2y=15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -9x-9y=-18 減去 -9x+2y=15。

$$-9x+9x-9y-2y=-18-15$$

將 -9x 加到 9x。 -9x 和 9x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-9y-2y=-18-15$$

將 -9y 加到 -2y。

$$-11y=-18-15$$

將 -18 加到 -15。

$$-11y=-33$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=3$$

在 9x-2y=-15 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$9x-2\times 3=-15$$

-2 乘上 3。

$$9x-6=-15$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$9x=-9$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=3$$