解決{l}{-x-5y=14}{-2x-7y=16} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 14 } \\ { - 2 x - 7 y = 16 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=6$$

$$y=-4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-x-5y=14$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$-x=5y+14$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\left(5y+14\right)$$

-1 乘上 5y+14。

$$x=-5y-14$$

在另一個方程式 -2x-7y=16 中以 -5y-14 代入 x在方程式。

$$-2\left(-5y-14\right)-7y=16$$

-2 乘上 -5y-14。

$$10y+28-7y=16$$

將 10y 加到 -7y。

$$3y+28=16$$

從方程式兩邊減去 28。

$$3y=-12$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=-4$$

在 x=-5y-14 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-5\left(-4\right)-14$$

-5 乘上 -4。

$$x=20-14$$

將 -14 加到 20。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{-5}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 14-\frac{5}{3}\times 16\\-\frac{2}{3}\times 14+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=-4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

讓 -x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1。

$$-2\left(-1\right)x-2\left(-5\right)y=-2\times 14,-\left(-2\right)x-\left(-7y\right)=-16$$

化簡。

$$2x+10y=-28,2x+7y=-16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+10y=-28 減去 2x+7y=-16。

$$2x-2x+10y-7y=-28+16$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y-7y=-28+16$$

將 10y 加到 -7y。

$$3y=-28+16$$

將 -28 加到 16。

$$3y=-12$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=-4$$

在 -2x-7y=16 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-7\left(-4\right)=16$$

-7 乘上 -4。

$$-2x+28=16$$

從方程式兩邊減去 28。

$$-2x=-12$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-4$$