解決{l}{-x-5y=11}{2x+y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-x-5y=11$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$-x=5y+11$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\left(5y+11\right)$$

-1 乘上 5y+11。

$$x=-5y-11$$

在另一個方程式 2x+y=9 中以 -5y-11 代入 x在方程式。

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

2 乘上 -5y-11。

$$-10y-22+y=9$$

將 -10y 加到 y。

$$-9y-22=9$$

將 22 加到方程式的兩邊。

$$-9y=31$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=-\frac{31}{9}$$

在 x=-5y-11 中以 -\frac{31}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

-5 乘上 -\frac{31}{9}。

$$x=\frac{155}{9}-11$$

將 -11 加到 \frac{155}{9}。

$$x=\frac{56}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

讓 -x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1。

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

化簡。

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x-10y=22 減去 -2x-y=-9。

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-10y+y=22+9$$

將 -10y 加到 y。

$$-9y=22+9$$

將 22 加到 9。

$$-9y=31$$

將兩邊同時除以 -9。

$$y=-\frac{31}{9}$$

在 2x+y=9 中以 -\frac{31}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

將 \frac{31}{9} 加到方程式的兩邊。

$$2x=\frac{112}{9}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{56}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$