解決{l}{-x-2y=9}{3x-2y=21} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 9 } \\ { 3 x - 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=-6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-x-2y=9$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$-x=2y+9$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\left(2y+9\right)$$

-1 乘上 2y+9。

$$x=-2y-9$$

在另一個方程式 3x-2y=21 中以 -2y-9 代入 x在方程式。

$$3\left(-2y-9\right)-2y=21$$

3 乘上 -2y-9。

$$-6y-27-2y=21$$

將 -6y 加到 -2y。

$$-8y-27=21$$

將 27 加到方程式的兩邊。

$$-8y=48$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=-6$$

在 x=-2y-9 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\left(-6\right)-9$$

-2 乘上 -6。

$$x=12-9$$

將 -9 加到 12。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 9+\frac{1}{4}\times 21\\-\frac{3}{8}\times 9-\frac{1}{8}\times 21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=-6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -x-2y=9 減去 3x-2y=21。

$$-x-3x-2y+2y=9-21$$

將 -2y 加到 2y。 -2y 和 2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-x-3x=9-21$$

將 -x 加到 -3x。

$$-4x=9-21$$

將 9 加到 -21。

$$-4x=-12$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=3$$

在 3x-2y=21 中以 3 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3\times 3-2y=21$$

3 乘上 3。

$$9-2y=21$$

從方程式兩邊減去 9。

$$-2y=12$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-6$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-6$$