解決{l}{-x+y=2}{2y=9x+9} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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2y-9x=9

考慮第二個方程式。從兩邊減去 9x。

-x+y=2,-9x+2y=9

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

-x+y=2

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

-x=-y+2

從方程式兩邊減去 y。

x=-\left(-y+2\right)

將兩邊同時除以 -1。

x=y-2

-1 乘上 -y+2。

-9\left(y-2\right)+2y=9

在另一個方程式 -9x+2y=9 中以 y-2 代入 x在方程式。

-9y+18+2y=9

-9 乘上 y-2。

-7y+18=9

將 -9y 加到 2y。

-7y=-9

從方程式兩邊減去 18。

y=\frac{9}{7}

將兩邊同時除以 -7。

x=\frac{9}{7}-2

在 x=y-2 中以 \frac{9}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=-\frac{5}{7}

將 -2 加到 \frac{9}{7}。

x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}

現已成功解出系統。

2y-9x=9

考慮第二個方程式。從兩邊減去 9x。

-x+y=2,-9x+2y=9

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)

計算。

x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}

解出矩陣元素 x 和 y。

2y-9x=9

考慮第二個方程式。從兩邊減去 9x。

-x+y=2,-9x+2y=9

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9

讓 -x 和 -9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1。

9x-9y=-18,9x-2y=-9