解決{l}{-x+2y=17}{2x+2y=-10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-9$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-x+2y=17$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$-x=-2y+17$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\left(-2y+17\right)$$

-1 乘上 -2y+17。

$$x=2y-17$$

在另一個方程式 2x+2y=-10 中以 2y-17 代入 x在方程式。

$$2\left(2y-17\right)+2y=-10$$

2 乘上 2y-17。

$$4y-34+2y=-10$$

將 4y 加到 2y。

$$6y-34=-10$$

將 34 加到方程式的兩邊。

$$6y=24$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=4$$

在 x=2y-17 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2\times 4-17$$

2 乘上 4。

$$x=8-17$$

將 -17 加到 8。

$$x=-9$$

現已成功解出系統。

$$x=-9,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{2}{-2-2\times 2}\\-\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{1}{-2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{6}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-9,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -x+2y=17 減去 2x+2y=-10。

$$-x-2x+2y-2y=17+10$$

將 2y 加到 -2y。 2y 和 -2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-x-2x=17+10$$

將 -x 加到 -2x。

$$-3x=17+10$$

將 17 加到 10。

$$-3x=27$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-9$$

在 2x+2y=-10 中以 -9 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2\left(-9\right)+2y=-10$$

2 乘上 -9。

$$-18+2y=-10$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$2y=8$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=4$$

現已成功解出系統。

$$x=-9,y=4$$