解 x、y
x=1
y=-6
圖表
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-9x-y=-3,-8x+2y=-20
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
-9x-y=-3
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
-9x=y-3
將 y 加到方程式的兩邊。
x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)
將兩邊同時除以 -9。
x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}
-\frac{1}{9} 乘上 y-3。
-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20
在另一個方程式 -8x+2y=-20 中以 -\frac{y}{9}+\frac{1}{3} 代入 x在方程式。
\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20
-8 乘上 -\frac{y}{9}+\frac{1}{3}。
\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20
將 \frac{8y}{9} 加到 2y。
\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}
將 \frac{8}{3} 加到方程式的兩邊。
y=-6
對方程式的兩邊同時除以 \frac{26}{9},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}
在 x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3} 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=\frac{2+1}{3}
-\frac{1}{9} 乘上 -6。
x=1
將 \frac{1}{3} 與 \frac{2}{3} 相加的算法: 先通分,接著相加分子,然後將分式化為最簡分式。
x=1,y=-6
現已成功解出系統。
-9x-y=-3,-8x+2y=-20
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)
計算。
x=1,y=-6
解出矩陣元素 x 和 y。
-9x-y=-3,-8x+2y=-20
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)
讓 -9x 和 -8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9。
72x+8y=24,72x-18y=180
化簡。
72x-72x+8y+18y=24-180
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 72x+8y=24 減去 72x-18y=180。
8y+18y=24-180
將 72x 加到 -72x。 72x 和 -72x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
26y=24-180
將 8y 加到 18y。
26y=-156
將 24 加到 -180。
y=-6
將兩邊同時除以 26。
-8x+2\left(-6\right)=-20
在 -8x+2y=-20 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
-8x-12=-20
2 乘上 -6。
-8x=-8
將 12 加到方程式的兩邊。
x=1
將兩邊同時除以 -8。
x=1,y=-6
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}