解決{l}{-9x-y=-14}{-x-5y=18} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 14 } \\ { - x - 5 y = 18 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=-4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-9x-y=-14$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$-9x=y-14$$

將兩邊同時除以 -9。

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-14\right)$$

-\frac{1}{9} 乘上 y-14。

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}$$

在另一個方程式 -x-5y=18 中以 \frac{-y+14}{9} 代入 x在方程式。

$$-\left(-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}\right)-5y=18$$

-1 乘上 \frac{-y+14}{9}。

$$\frac{1}{9}y-\frac{14}{9}-5y=18$$

將 \frac{y}{9} 加到 -5y。

$$-\frac{44}{9}y-\frac{14}{9}=18$$

將 \frac{14}{9} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{44}{9}y=\frac{176}{9}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{44}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-4$$

在 x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9} 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{9}\left(-4\right)+\frac{14}{9}$$

-\frac{1}{9} 乘上 -4。

$$x=\frac{4+14}{9}$$

將 \frac{14}{9} 與 \frac{4}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{9}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&-\frac{9}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}\left(-14\right)+\frac{1}{44}\times 18\\\frac{1}{44}\left(-14\right)-\frac{9}{44}\times 18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=-4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

讓 -9x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9。

$$-\left(-9\right)x-\left(-y\right)=-\left(-14\right),-9\left(-1\right)x-9\left(-5\right)y=-9\times 18$$

化簡。

$$9x+y=14,9x+45y=-162$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 9x+y=14 減去 9x+45y=-162。

$$9x-9x+y-45y=14+162$$

將 9x 加到 -9x。 9x 和 -9x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-45y=14+162$$

將 y 加到 -45y。

$$-44y=14+162$$

將 14 加到 162。

$$-44y=176$$

將兩邊同時除以 -44。

$$y=-4$$

在 -x-5y=18 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x-5\left(-4\right)=18$$

-5 乘上 -4。

$$-x+20=18$$

從方程式兩邊減去 20。

$$-x=-2$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-4$$