解決{l}{-9a+7b=2}{-5=3b+5a} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 a + 7 b = 2 } \\ { - 5 = 3 b + 5 a } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=-\frac{41}{62}\approx -0.661290323$$

$$b=-\frac{35}{62}\approx -0.564516129$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$3b+5a=-5$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-9a+7b=2,5a+3b=-5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$-9a+7b=2$$

從方程式兩邊減去 7b。

$$-9a=-7b+2$$

將兩邊同時除以 -9。

$$a=-\frac{1}{9}\left(-7b+2\right)$$

-\frac{1}{9} 乘上 -7b+2。

$$a=\frac{7}{9}b-\frac{2}{9}$$

在另一個方程式 5a+3b=-5 中以 \frac{7b-2}{9} 代入 a在方程式。

$$5\left(\frac{7}{9}b-\frac{2}{9}\right)+3b=-5$$

5 乘上 \frac{7b-2}{9}。

$$\frac{35}{9}b-\frac{10}{9}+3b=-5$$

將 \frac{35b}{9} 加到 3b。

$$\frac{62}{9}b-\frac{10}{9}=-5$$

將 \frac{10}{9} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{62}{9}b=-\frac{35}{9}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{62}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=-\frac{35}{62}$$

在 a=\frac{7}{9}b-\frac{2}{9} 中以 -\frac{35}{62} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=\frac{7}{9}\left(-\frac{35}{62}\right)-\frac{2}{9}$$

\frac{7}{9} 乘上 -\frac{35}{62} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$a=-\frac{245}{558}-\frac{2}{9}$$

將 -\frac{2}{9} 與 -\frac{245}{558} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=-\frac{41}{62}$$

現已成功解出系統。

$$a=-\frac{41}{62},b=-\frac{35}{62}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$3b+5a=-5$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-9a+7b=2,5a+3b=-5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-9&7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-9&7\\5&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-9\times 3-7\times 5}&-\frac{7}{-9\times 3-7\times 5}\\-\frac{5}{-9\times 3-7\times 5}&-\frac{9}{-9\times 3-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{62}&\frac{7}{62}\\\frac{5}{62}&\frac{9}{62}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{62}\times 2+\frac{7}{62}\left(-5\right)\\\frac{5}{62}\times 2+\frac{9}{62}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{62}\\-\frac{35}{62}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=-\frac{41}{62},b=-\frac{35}{62}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$3b+5a=-5$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-9a+7b=2,5a+3b=-5$$

讓 -9a 和 5a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -9。

$$5\left(-9\right)a+5\times 7b=5\times 2,-9\times 5a-9\times 3b=-9\left(-5\right)$$

化簡。

$$-45a+35b=10,-45a-27b=45$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -45a+35b=10 減去 -45a-27b=45。

$$-45a+45a+35b+27b=10-45$$

將 -45a 加到 45a。 -45a 和 45a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$35b+27b=10-45$$

將 35b 加到 27b。

$$62b=10-45$$

將 10 加到 -45。

$$62b=-35$$

將兩邊同時除以 62。

$$b=-\frac{35}{62}$$

在 5a+3b=-5 中以 -\frac{35}{62} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$5a+3\left(-\frac{35}{62}\right)=-5$$

3 乘上 -\frac{35}{62}。

$$5a-\frac{105}{62}=-5$$

將 \frac{105}{62} 加到方程式的兩邊。

$$5a=-\frac{205}{62}$$

將兩邊同時除以 5。

$$a=-\frac{41}{62}$$

現已成功解出系統。

$$a=-\frac{41}{62},b=-\frac{35}{62}$$