解決{l}{-8x-6y=30}{-6x+2y=-10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = 30 } \\ { - 6 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=-5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-8x-6y=30$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$-8x=6y+30$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y+30\right)$$

-\frac{1}{8} 乘上 30+6y。

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}$$

在另一個方程式 -6x+2y=-10 中以 \frac{-3y-15}{4} 代入 x在方程式。

$$-6\left(-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}\right)+2y=-10$$

-6 乘上 \frac{-3y-15}{4}。

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}+2y=-10$$

將 \frac{9y}{2} 加到 2y。

$$\frac{13}{2}y+\frac{45}{2}=-10$$

從方程式兩邊減去 \frac{45}{2}。

$$\frac{13}{2}y=-\frac{65}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-5$$

在 x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4} 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{4}\left(-5\right)-\frac{15}{4}$$

-\frac{3}{4} 乘上 -5。

$$x=\frac{15-15}{4}$$

將 -\frac{15}{4} 與 \frac{15}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{8}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\\-\frac{3}{26}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 30-\frac{3}{26}\left(-10\right)\\-\frac{3}{26}\times 30+\frac{2}{13}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=-5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

讓 -8x 和 -6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8。

$$-6\left(-8\right)x-6\left(-6\right)y=-6\times 30,-8\left(-6\right)x-8\times 2y=-8\left(-10\right)$$

化簡。

$$48x+36y=-180,48x-16y=80$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 48x+36y=-180 減去 48x-16y=80。

$$48x-48x+36y+16y=-180-80$$

將 48x 加到 -48x。 48x 和 -48x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$36y+16y=-180-80$$

將 36y 加到 16y。

$$52y=-180-80$$

將 -180 加到 -80。

$$52y=-260$$

將兩邊同時除以 52。

$$y=-5$$

在 -6x+2y=-10 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-6x+2\left(-5\right)=-10$$

2 乘上 -5。

$$-6x-10=-10$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$-6x=0$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-5$$