解決{l}{-8x-6y=-10}{x-y=17} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = - 10 } \\ { x - y = 17 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=8$$

$$y=-9$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-8x-6y=-10$$

將 6y 加到方程式的兩邊。

$$-8x=6y-10$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y-10\right)$$

-\frac{1}{8} 乘上 6y-10。

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 x-y=17 中以 \frac{-3y+5}{4} 代入 x在方程式。

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}-y=17$$

將 -\frac{3y}{4} 加到 -y。

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}=17$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{4}。

$$-\frac{7}{4}y=\frac{63}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-9$$

在 x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} 中以 -9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{4}\left(-9\right)+\frac{5}{4}$$

-\frac{3}{4} 乘上 -9。

$$x=\frac{27+5}{4}$$

將 \frac{5}{4} 與 \frac{27}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=-9$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{14}&-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-10\right)+\frac{3}{7}\times 17\\-\frac{1}{14}\left(-10\right)-\frac{4}{7}\times 17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=8,y=-9$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

讓 -8x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8。

$$-8x-6y=-10,-8x-8\left(-1\right)y=-8\times 17$$

化簡。

$$-8x-6y=-10,-8x+8y=-136$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -8x-6y=-10 減去 -8x+8y=-136。

$$-8x+8x-6y-8y=-10+136$$

將 -8x 加到 8x。 -8x 和 8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y-8y=-10+136$$

將 -6y 加到 -8y。

$$-14y=-10+136$$

將 -10 加到 136。

$$-14y=126$$

將兩邊同時除以 -14。

$$y=-9$$

在 x-y=17 中以 -9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-\left(-9\right)=17$$

從方程式兩邊減去 9。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=-9$$