解決{l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-8x+7y=13$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$-8x=-7y+13$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

-\frac{1}{8} 乘上 -7y+13。

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

在另一個方程式 7x-9y=-20 中以 \frac{7y-13}{8} 代入 x在方程式。

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

7 乘上 \frac{7y-13}{8}。

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

將 \frac{49y}{8} 加到 -9y。

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

將 \frac{91}{8} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{23}{8}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=3$$

在 x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

\frac{7}{8} 乘上 3。

$$x=\frac{21-13}{8}$$

將 -\frac{13}{8} 與 \frac{21}{8} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

讓 -8x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8。

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

化簡。

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -56x+49y=91 減去 -56x+72y=160。

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

將 -56x 加到 56x。 -56x 和 56x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$49y-72y=91-160$$

將 49y 加到 -72y。

$$-23y=91-160$$

將 91 加到 -160。

$$-23y=-69$$

將兩邊同時除以 -23。

$$y=3$$

在 7x-9y=-20 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x-9\times 3=-20$$

-9 乘上 3。

$$7x-27=-20$$

將 27 加到方程式的兩邊。

$$7x=7$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=3$$