解決{l}{-8x+7y=-9}{-9x+7y=-18} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = - 9 } \\ { - 9 x + 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=9$$

$$y=9$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-8x+7y=-9$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$-8x=-7y-9$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y-9\right)$$

-\frac{1}{8} 乘上 -7y-9。

$$x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}$$

在另一個方程式 -9x+7y=-18 中以 \frac{7y+9}{8} 代入 x在方程式。

$$-9\left(\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}\right)+7y=-18$$

-9 乘上 \frac{7y+9}{8}。

$$-\frac{63}{8}y-\frac{81}{8}+7y=-18$$

將 -\frac{63y}{8} 加到 7y。

$$-\frac{7}{8}y-\frac{81}{8}=-18$$

將 \frac{81}{8} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{63}{8}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{8}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=9$$

在 x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8} 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{8}\times 9+\frac{9}{8}$$

\frac{7}{8} 乘上 9。

$$x=\frac{63+9}{8}$$

將 \frac{9}{8} 與 \frac{63}{8} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=9$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{9}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-\left(-18\right)\\\frac{9}{7}\left(-9\right)-\frac{8}{7}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=9$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -8x+7y=-9 減去 -9x+7y=-18。

$$-8x+9x+7y-7y=-9+18$$

將 7y 加到 -7y。 7y 和 -7y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-8x+9x=-9+18$$

將 -8x 加到 9x。

$$x=-9+18$$

將 -9 加到 18。

$$x=9$$

在 -9x+7y=-18 中以 9 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-9\times 9+7y=-18$$

-9 乘上 9。

$$-81+7y=-18$$

將 81 加到方程式的兩邊。

$$7y=63$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=9$$