解決{l}{-8x+4y=8}{8x-y=16} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - y = 16 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-8x+4y=8$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$-8x=-4y+8$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+8\right)$$

-\frac{1}{8} 乘上 -4y+8。

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

在另一個方程式 8x-y=16 中以 \frac{y}{2}-1 代入 x在方程式。

$$8\left(\frac{1}{2}y-1\right)-y=16$$

8 乘上 \frac{y}{2}-1。

$$4y-8-y=16$$

將 4y 加到 -y。

$$3y-8=16$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$3y=24$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=8$$

在 x=\frac{1}{2}y-1 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times 8-1$$

\frac{1}{2} 乘上 8。

$$x=4-1$$

將 -1 加到 4。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\times 8+\frac{1}{6}\times 16\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=8$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

讓 -8x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8。

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 8,-8\times 8x-8\left(-1\right)y=-8\times 16$$

化簡。

$$-64x+32y=64,-64x+8y=-128$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -64x+32y=64 減去 -64x+8y=-128。

$$-64x+64x+32y-8y=64+128$$

將 -64x 加到 64x。 -64x 和 64x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$32y-8y=64+128$$

將 32y 加到 -8y。

$$24y=64+128$$

將 64 加到 128。

$$24y=192$$

將兩邊同時除以 24。

$$y=8$$

在 8x-y=16 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x-8=16$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$8x=24$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=8$$