解決{l}{-7x-8y=-2}{-5x+8y=26} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x - 8 y = - 2 } \\ { - 5 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-7x-8y=-2$$

將 8y 加到方程式的兩邊。

$$-7x=8y-2$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=-\frac{1}{7}\left(8y-2\right)$$

-\frac{1}{7} 乘上 8y-2。

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}$$

在另一個方程式 -5x+8y=26 中以 \frac{-8y+2}{7} 代入 x在方程式。

$$-5\left(-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}\right)+8y=26$$

-5 乘上 \frac{-8y+2}{7}。

$$\frac{40}{7}y-\frac{10}{7}+8y=26$$

將 \frac{40y}{7} 加到 8y。

$$\frac{96}{7}y-\frac{10}{7}=26$$

將 \frac{10}{7} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{96}{7}y=\frac{192}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{96}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{2}{7}$$

-\frac{8}{7} 乘上 2。

$$x=\frac{-16+2}{7}$$

將 \frac{2}{7} 與 -\frac{16}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{5}{96}&\frac{7}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-2\right)-\frac{1}{12}\times 26\\-\frac{5}{96}\left(-2\right)+\frac{7}{96}\times 26\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

讓 -7x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7。

$$-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-2\right),-7\left(-5\right)x-7\times 8y=-7\times 26$$

化簡。

$$35x+40y=10,35x-56y=-182$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 35x+40y=10 減去 35x-56y=-182。

$$35x-35x+40y+56y=10+182$$

將 35x 加到 -35x。 35x 和 -35x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$40y+56y=10+182$$

將 40y 加到 56y。

$$96y=10+182$$

將 10 加到 182。

$$96y=192$$

將兩邊同時除以 96。

$$y=2$$

在 -5x+8y=26 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x+8\times 2=26$$

8 乘上 2。

$$-5x+16=26$$

從方程式兩邊減去 16。

$$-5x=10$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=2$$