解決{l}{-6x-3y=3}{-3x+3y=-21} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x - 3 y = 3 } \\ { - 3 x + 3 y = - 21 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=-5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-6x-3y=3,-3x+3y=-21$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-6x-3y=3$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$-6x=3y+3$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=-\frac{1}{6}\left(3y+3\right)$$

-\frac{1}{6} 乘上 3+3y。

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 -3x+3y=-21 中以 \frac{-y-1}{2} 代入 x在方程式。

$$-3\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=-21$$

-3 乘上 \frac{-y-1}{2}。

$$\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}+3y=-21$$

將 \frac{3y}{2} 加到 3y。

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}=-21$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$\frac{9}{2}y=-\frac{45}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{9}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-5$$

在 x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-5\right)-\frac{1}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 -5。

$$x=\frac{5-1}{2}$$

將 -\frac{1}{2} 與 \frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-6x-3y=3,-3x+3y=-21$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-6&-3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-21\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-6&-3\\-3&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&-3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&-3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-21\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-21\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-21\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-6\times 3-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{-6\times 3-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-6\times 3-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{6}{-6\times 3-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-21\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-21\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 3-\frac{1}{9}\left(-21\right)\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{2}{9}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=-5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-6x-3y=3,-3x+3y=-21$$

讓 -6x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6。

$$-3\left(-6\right)x-3\left(-3\right)y=-3\times 3,-6\left(-3\right)x-6\times 3y=-6\left(-21\right)$$

化簡。

$$18x+9y=-9,18x-18y=126$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x+9y=-9 減去 18x-18y=126。

$$18x-18x+9y+18y=-9-126$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y+18y=-9-126$$

將 9y 加到 18y。

$$27y=-9-126$$

將 -9 加到 -126。

$$27y=-135$$

將兩邊同時除以 27。

$$y=-5$$

在 -3x+3y=-21 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x+3\left(-5\right)=-21$$

3 乘上 -5。

$$-3x-15=-21$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$-3x=-6$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-5$$