解決{l}{-6x+y=-2}{-3x-6y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + y = - 2 } \\ { - 3 x - 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-6x+y=-2,-3x-6y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-6x+y=-2$$

從方程式兩邊減去 y。

$$-6x=-y-2$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=-\frac{1}{6}\left(-y-2\right)$$

-\frac{1}{6} 乘上 -y-2。

$$x=\frac{1}{6}y+\frac{1}{3}$$

在另一個方程式 -3x-6y=12 中以 \frac{y}{6}+\frac{1}{3} 代入 x在方程式。

$$-3\left(\frac{1}{6}y+\frac{1}{3}\right)-6y=12$$

-3 乘上 \frac{y}{6}+\frac{1}{3}。

$$-\frac{1}{2}y-1-6y=12$$

將 -\frac{y}{2} 加到 -6y。

$$-\frac{13}{2}y-1=12$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{13}{2}y=13$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{13}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=\frac{1}{6}y+\frac{1}{3} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{6}\left(-2\right)+\frac{1}{3}$$

\frac{1}{6} 乘上 -2。

$$x=\frac{-1+1}{3}$$

將 \frac{1}{3} 與 -\frac{1}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-6x+y=-2,-3x-6y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&-\frac{1}{39}\\\frac{1}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\left(-2\right)-\frac{1}{39}\times 12\\\frac{1}{13}\left(-2\right)-\frac{2}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-6x+y=-2,-3x-6y=12$$

讓 -6x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6。

$$-3\left(-6\right)x-3y=-3\left(-2\right),-6\left(-3\right)x-6\left(-6\right)y=-6\times 12$$

化簡。

$$18x-3y=6,18x+36y=-72$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x-3y=6 減去 18x+36y=-72。

$$18x-18x-3y-36y=6+72$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y-36y=6+72$$

將 -3y 加到 -36y。

$$-39y=6+72$$

將 6 加到 72。

$$-39y=78$$

將兩邊同時除以 -39。

$$y=-2$$

在 -3x-6y=12 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x-6\left(-2\right)=12$$

-6 乘上 -2。

$$-3x+12=12$$

從方程式兩邊減去 12。

$$-3x=0$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-2$$