解決{l}{-6x+6y=-6}{2x-y=-4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 6 y = - 6 } \\ { 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-5$$

$$y=-6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-6x+6y=-6,2x-y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-6x+6y=-6$$

從方程式兩邊減去 6y。

$$-6x=-6y-6$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=-\frac{1}{6}\left(-6y-6\right)$$

-\frac{1}{6} 乘上 -6y-6。

$$x=y+1$$

在另一個方程式 2x-y=-4 中以 y+1 代入 x在方程式。

$$2\left(y+1\right)-y=-4$$

2 乘上 y+1。

$$2y+2-y=-4$$

將 2y 加到 -y。

$$y+2=-4$$

從方程式兩邊減去 2。

$$y=-6$$

在 x=y+1 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-6+1$$

將 1 加到 -6。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=-6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-6x+6y=-6,2x-y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&6\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-6\left(-1\right)-6\times 2}&-\frac{6}{-6\left(-1\right)-6\times 2}\\-\frac{2}{-6\left(-1\right)-6\times 2}&-\frac{6}{-6\left(-1\right)-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&1\\\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)-4\\\frac{1}{3}\left(-6\right)-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-5,y=-6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-6x+6y=-6,2x-y=-4$$

讓 -6x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6。

$$2\left(-6\right)x+2\times 6y=2\left(-6\right),-6\times 2x-6\left(-1\right)y=-6\left(-4\right)$$

化簡。

$$-12x+12y=-12,-12x+6y=24$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -12x+12y=-12 減去 -12x+6y=24。

$$-12x+12x+12y-6y=-12-24$$

將 -12x 加到 12x。 -12x 和 12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y-6y=-12-24$$

將 12y 加到 -6y。

$$6y=-12-24$$

將 -12 加到 -24。

$$6y=-36$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=-6$$

在 2x-y=-4 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-\left(-6\right)=-4$$

從方程式兩邊減去 6。

$$2x=-10$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=-5,y=-6$$