解決{l}{-6x+5y=1}{6x+4y=-10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { 6 x + 4 y = - 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-6x+5y=1$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$-6x=-5y+1$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

-\frac{1}{6} 乘上 -5y+1。

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

在另一個方程式 6x+4y=-10 中以 \frac{5y-1}{6} 代入 x在方程式。

$$6\left(\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}\right)+4y=-10$$

6 乘上 \frac{5y-1}{6}。

$$5y-1+4y=-10$$

將 5y 加到 4y。

$$9y-1=-10$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$9y=-9$$

將兩邊同時除以 9。

$$y=-1$$

在 x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{6}$$

\frac{5}{6} 乘上 -1。

$$x=\frac{-5-1}{6}$$

將 -\frac{1}{6} 與 -\frac{5}{6} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{-6\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}+\frac{5}{54}\left(-10\right)\\\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

讓 -6x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6。

$$6\left(-6\right)x+6\times 5y=6,-6\times 6x-6\times 4y=-6\left(-10\right)$$

化簡。

$$-36x+30y=6,-36x-24y=60$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -36x+30y=6 減去 -36x-24y=60。

$$-36x+36x+30y+24y=6-60$$

將 -36x 加到 36x。 -36x 和 36x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$30y+24y=6-60$$

將 30y 加到 24y。

$$54y=6-60$$

將 6 加到 -60。

$$54y=-54$$

將兩邊同時除以 54。

$$y=-1$$

在 6x+4y=-10 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x+4\left(-1\right)=-10$$

4 乘上 -1。

$$6x-4=-10$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$6x=-6$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-1$$