解決{l}{-5x-8y=8}{-5x+6y=-6} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 8 y = 8 } \\ { - 5 x + 6 y = - 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-5x-8y=8$$

將 8y 加到方程式的兩邊。

$$-5x=8y+8$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{1}{5}\left(8y+8\right)$$

-\frac{1}{5} 乘上 8+8y。

$$x=-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5}$$

在另一個方程式 -5x+6y=-6 中以 \frac{-8y-8}{5} 代入 x在方程式。

$$-5\left(-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5}\right)+6y=-6$$

-5 乘上 \frac{-8y-8}{5}。

$$8y+8+6y=-6$$

將 8y 加到 6y。

$$14y+8=-6$$

從方程式兩邊減去 8。

$$14y=-14$$

將兩邊同時除以 14。

$$y=-1$$

在 x=-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{8}{5}\left(-1\right)-\frac{8}{5}$$

-\frac{8}{5} 乘上 -1。

$$x=\frac{8-8}{5}$$

將 -\frac{8}{5} 與 \frac{8}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{35}&-\frac{4}{35}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{35}\times 8-\frac{4}{35}\left(-6\right)\\-\frac{1}{14}\times 8+\frac{1}{14}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -5x-8y=8 減去 -5x+6y=-6。

$$-5x+5x-8y-6y=8+6$$

將 -5x 加到 5x。 -5x 和 5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-8y-6y=8+6$$

將 -8y 加到 -6y。

$$-14y=8+6$$

將 8 加到 6。

$$-14y=14$$

將兩邊同時除以 -14。

$$y=-1$$

在 -5x+6y=-6 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x+6\left(-1\right)=-6$$

6 乘上 -1。

$$-5x-6=-6$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$-5x=0$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-1$$